Kuliah Psikologi: Matematika (Materi Himpunan)

matematika dan ilmu alamiah dasar

pertemuan ke 4

tugas ke 4

KELOMPOK : 1

ANGGOTA :

1. ADHI ANGGRA KUSUMA PUTRA ( 10516128 )

2. FATHIMAH ATIYYAH KAUTSARI ( 12516688 )

3. JESICA WIDIANINGTYAS ( 13516707 )

4. RAIHANI HAURANNISA ( 16516017 )

5. PRIMAULIA ANAMAYA ( 18516382 )

6. SITTE SRIE LATHIFA REKOZAR ( 17516116 )

UNIVERSITAS GUNADARMA

BEKASI

2017

A. Himpunan dan bilangan.

1. Jelaskan pengertian himpunan dan anggota himpunan.

2. Sebutkan macam – macam himpunan berdasarkan jumlah anggotanya.

3. Jelaskan operasi antar himpunan beserta contohnya.

4. Jelaskan mengenai himpunan bilangan dan sebutkan sifat – sifat bilangan.

5. Jelaskan perbedaan bilangan bulat dengan bilangan rill.

Jawaban.

1. Dalam matematika, himpunan adalah (kumpulan objek yang memiliki sifat yg dapat didefinisikan dengan jelas) segala koleksi benda-benda tertentu yang dianggap sebagai satu kesatuan. Teori himpunan, yang baru diciptakan pada akhir abad ke-19, sekarang merupakan bagian yang tersebar dalam pendidikan matematika yang mulai diperkenalkan bahkan sejak tingkat sekolah dasar. Teori ini merupakan bahasa untuk menjelaskan matematika modern. Teori himpunan dapat dianggap sebagai dasar yang membangun hampir semua aspek dari matematika dan merupakan sumber dari mana semua matematika diturunkan.

Atau, Himpunan merupakan kumpulan dari benda-benda yang dapat dibedakan atau didefinisikan dengan jelas. Misalnya himpunan lima bilangan asli yang pertama. Himpunan lima bilangan asli yang pertama adalah 1, 2, 3, 4, dan 5. Suatu himpunan harus memiliki nama. Nama himpunan biasanya ditulis dengan huruf kapital. Setiap benda atau objek yang berada dalam suatu himpunan disebut anggota atau elemen dari himpunan itu dan dinotasikan dengan є. Adapun benda atau objek yang tidak termasuk dalam suatu himpunan dikatakan bukan anggota himpunan dan dinotasikan dengan

2. - Himpunan berhingga adalah suatu himpunan yang jumlah anggotanya dapat dihitung.

Contohnya D = {bilangan genap kurang dari 10} atau A = {2,4,6,8}.

Himpunan D jumlah angotanya dapat dihitung yaitu sebanyak 4 buah.

- Himpunan tak hingga adalah suatu himpunan yang jumlah anggotanya tidak terbatas atau tak hingga. Contohnya: A= {bilangan genap}, B= {bilangan ganjil}

- Himpunan kosong adalah suatu himpunan yang tidak memiliki anggota sama sekali. Himpunan kosong dilambangkan dengan tanda {}.

Contohnya B = {bilangan genap antara 2 dan 4}. ditulis B={}={0}.

- Himpunan ekuivalen/himpunan sama adalah himpunan yang anggotanya sama

contohnya A= {b,c,d} B={d,c,b} A=B

- Himpunan semesta adalah himpunan dari semua unsur yang sedang dibicarakan. Himpunan semesta juga disebut himpunan uiversal dan ditulis dengan huruf S.

contohnya:A = {1,3,5,7,9}

himpunan semestanya berupa:

S = {bilangan asli}

S = {bilangan cacah}

S = {bilangan ganjil kurang dari 10}

- Himpunan bilangan cacah adalah himpunan bilangan yang anggotanya dimulaidari nol dan seterusnya contoh K = {0,1,2,3,4,5}

- Himpunan bagian adalah apabila setiap unsur dalam himpunan B termasuk juga anggota A, maka B merupakan bagian dari himpunan A. contohnya B = {a,c,e} A = {a,b,c,d,e}

jadi B bagian dari A.Anggota himpunan n adalah suatu unsur dari suatu himpunan. Contohnya : A = (a,b,c,d,e} maka a elemen A

- Himpunan lepas adalah suatu himpunan yang tidak mempunyai anggota persekutuan dengan himpunan lain. ContohnyaA = {d,e,f} B = {g,h,i} maka himpunan A tidak mempunyai anggota persekutuan dengan himpunan B atau A//B bukan anggota himpunan adalah unsur ini tidak termasuk dalam himpunan tersebut contohnya A = {a,b,c,d} e bukan anggota himpunan A.

- Himpunan bilangan asli adalah himpunan bilangan yang anggotanya dimulai dari bilangan satu dan seterusnya.Contohnya D = {1,2,3,4,...}

- Himpunan bilangan genap adalah himpunan yang anggotanya dimulai dari angka dua dan selalu genap atau habis dibagi dua contohnya G = {2,4,6,8,10}

- Himpunan bilangan ganjil adalah himpunan yang anggota bilanganya tidak habis dibagi dua .contohnya K = {1,3,5,7}

- Himpunan bilangan prima adalah himpunan bilangan yang anggotanya semua bilangan yang memiliki dua faktor contohnya Y = {2,3,,5,7}

- Himpunan kuadrat bilangan cacah adalah himpunan bilangan cacah yang anggotanya dipangkatkan dua.Contohnya Y = {0^2,1^2,3^2)

3. Ada beberapa operasi himpunan yang perlu diketahui, yaitu : irisan , gabungan, komplemen, selisih dan beda setangkup.

IRISAN (INTERSECTION)

Irisan antara dua buah himpunan dinotasikan oleh tanda ‘∩ ‘.

Misalkan A dan B adalah himpunan yang tidak saling lepas, maka A ∩ B = { x | x ∈ A dan x ∈ B }

Jika dinyatakan dalam bentuk diagram Venn adalah :

irisan (intersection)

Contoh irisan :

Misalkan A = {2, 3, 5, 7, 11} dan B = {3, 6, 9, 12}, maka A ∩ B = {3}

Misalkan A adalah himpunan mahasiswi TI STT Telkom dan B merupakan himpunan wanita lanjut usia (50 tahun ke atas), maka A ∩ B = ∅.

Hal ini berarti A dan B adalah saling lepas atau A // B.

GABUNGAN (UNION)

Gabungan antara dua buah himpunan dinotasikan oleh tanda ‘∪‘.

Misalkan A dan B adalah himpunan, maka A ∪ B = { x | x ∈ A atau x ∈ B }

Union

Jika dinyatakan dalam bentuk diagram Venn adalah :

Contoh union :

Jika A = { 2, 3, 5, 7} dan B = { 1, 2, 3, 4, 5 }, maka A ∪ B = { 1, 2, 3, 4, 5, 7}

4. Himpunan adalah sekelompok / kumpulan benda atau objek yang anggotanya dapat didefinisikan / ditentukan dengan jelas.

Sehingga dapat ditarik kesimpulan bahwa objek pada himpunan harus didefinisikan dengan jelas, agar supaya dapat dibadakan atau ditentukan antara benda / objek yang termuat dan yang tidak termuat pada himpunan.

Contoh – contoh Himpunan

Untuk lebih memahami tentang pengertian himpunan silahkan perhatikan contoh kasus berikut ini!
a) Kumpulan pemuda ganteng
b) Kumpulan orang tua yang bijaksana
c) Kumpulan pena, buku, penggaris, penghapus, pensil
d) Kumpulan pisang, salak, duku, durian, rambutan, jeruk

Penjelasan contoh kasus himpunan

Pada contoh (a) kumpulan pemuda ganteng; pengertian ganteng itu relatif dan tidak dapat didefinisikan dengan jelas, dan (b) sifat bijaksana juga merupakan hal yang tidak dapat didefinisikan dengan jelas karena setiap orang memiliki penilaian yang berbeda-beda (relatif).

Kesimpulan:

Sehingga dapat disimpulkan bahwa pada contoh kasus (a) dan (b) di atas bukanlah termasuk contoh himpunan, karena anggota-anggotanya tidak dapat didefinisikan atau ditetapkan dengan jelas.
Sedangkan pada contoh kasus (c) merupkanan kumpulan alat tulis dan contoh (d) merupakan kumpulan buah-buahan.

Sehingga dapat ditarik kesimpulan bahwa pada contoh kasus (c) dan (d) di atas merupakan contoh dari himpunan karena anggota- anggotanya dapat didefinisikan atau ditentukan dengan jelan. Yaitu (c) himpunan alat tulis dan (d) himpunan buah-buahan.

5. 1. Bilangan bulat
Bilangan bulat merupakan bilangan yang terdiri dari bilangan nol, bilangan positif, dan bilangan
negatife, contohnya: -3, -2 ,-1 , 0 , 1 , 2 , 3…. Dst

2. Bilangan asli
Bilangan asli merupakan suatu bilangan bulat positif yamg harus diawali dari angka1 (satu) hingga
tak terhingga, contohnya: 1, 2, 3, 4, 5…. Dst

3. Bilangan cacah
Bilangan cacah merupakan suatu bilangan bulat positif yang harus diawali dari angka 0 (nol)
hingga tak terhingga, contohnya: 0, 1, 2, 3, 4, 5…. Dst

4. Bilangan Prima
Bilangan prima merupakan suatu bilangan yang tepat punya 2 faktor, yaitu bilangan 1 (satu) dan
dengan bilangan itu sendiri, contohnya: 2, 3, 5, 7, 11, 13…. Dst

5. Bilangan Komposit
Bilangan komposit merupakan bilangan yang bukan 0 (nol), juga bukan 1, dan bukan juga bilangan
Prima, contohnya: 4, 6, 8, 9 , 10, 12, 14…. Dst

6. Bilangan Rasional
Bilangan Rasional merrupakan suatu bilangan yang dapat dinyatkan sebagai suatu pembagian
antara 2 bilangan bulat, contonya: ½, 2/3, ¾…. Dst

7. Bilangan Irrasional
Bilangan Irrasional merupakan bilangan yang nggak bisa dinyatkan sebagai pembagi dua bilangan
bulat, contohnya: √3, log 7….. Dst

8. Bilangan rill atua biasa disebut dengan bilangan nyata
Bilangan rill merupakan bilangan yang merupakan penggabungan dari bilangan rasional dan
Irrasional, contohnya: ½ √2, 1/3 √5, 2/3 log 2, dan seterusnya.

9. Bilangan Imajiner atau bilangan khayal
Bilangan imajiner merupakan bilangan yang ditandai dengan huruf i, Bilangan imajiner dengan
huruf i dapat dinyatakan sebagai √-1. Jadi apabila i = √-1 maka i² = -1
contonya: √-8 = …. ?
√-8 = √8 x (-1) = √8 x √-1 = 4 x i = 2 i

10. Bilangan kompleks
bilangan kompleks merupakan suatu bilangan yangv merupakan penggabungan dari suatu
bilangan rill dan bilangan imajiner
contohnya: Log √-1 = log i

B. Relasi.

1. Jelaskan definisi dari relasi.

2. Menyajikan relasi dengan matriks relasi dan diagram panah.

3. Jelaskan relasi invers, dan komposisi relasi.

4. Jelaskan perbedaan sifat relasi :

a. Refleksif .

b. Transitif.

c. Simetris.

d. Anti simetris.

Jawaban.

Definisi Relasi adalah himpunan bagian antara A(domain) dan B (kodomain) atau relasi yang memasangkan setiap elemen yang ada pada himpunan A secara tunggal, dengan elemen yang pada B.

2. Dengan matriks

Relasi antara A = {a₁, a₂, …, a_m} dan B = {b₁, b₂, …, b_n}

Dengan diagram panah

Himpunan A diletakkan disebelah kiri
Himpunan B diletakkan disebelah kanan

Contoh:

Ani suka Bakso dan nasi goreng

Irfan suka mie ayam

Arman suka nasi goreng dan coto

Ahmad suka ikan bakar

Erwin suka bakso

3. A. Relasi Invers

Apabila f adalah fungsi dari himpunan A ke himpunan B, maka invers fungsi fadalah suatu relasi dari himpunan B ke himpunan A. Jadi, invers suatu fungsi tidak selalu merupakan fungsi. Jika invers suatu fungsi merupakan fungsi, maka invers tersebut dinamakan fungsi invers dari fungsi semula.

Fungsi f mempunyai fungsi invers

jika dan hanya jika f merupakan fungsi (korespondensi satu-satu)

Langkah-langkah untuk menentukan rumus fungsi invers apabila fungsi f(x) telah diketahui:

1. Mengubah persamaan y = f(x) dalam bentuk x sebagai fungsi y

2. Bentuk x sebagai fungsi y tersebut dinamakan

3. Mengganti y pada , dan

4. dengan x, sehingga diperoleh

B. Relasi Komposisi

Misalkan f adalah suatu fungsi dari A ke B dan g adalah fungsi dari B ke C , maka suatu fungsi h dari A ke C disebut fungsi komposisi. Fungsi komposisi tersebut dinyatakan dengan (dibaca: g bundaran f)

Fungsi Komposisi: (f o g)(x) = f(g(x))

Fungsi Komposisi: (g o f)(x) = g(f(x))

Sifat-sifat Komposisi Fungsi

1. Pada umumnya tidak komutatif.

2. Operasi komposisi pada fungsi bersifat asosiatif.

3. Terdapat fungsi identitas

4. A. Refleksif

Misalkan R sebuah relasi yang didefinisikan pada himpunan P. Relasi R dikatakan bersifat refleksif jika untuk setiap p ∈ P berlaku (p, p) ∈ R.

Contoh:

Diberikan himpunan P = {1, 2, 3}. Didefinisikan relasi R pada himpunan P dengan hasil relasi adalah himpunan S = {(1,1), (1,2), (2,2), (2,3), (3,3), (3,2)}. Relasi R tersebut bersifat reflektif sebab setiap anggota himpunan P berpasangan atau berelasi dengan dirinya sendiri.

B. Transitif

Misalkan R sebuah relasi pada himpunan P. Relasi R bersifat transitif apabila untuk setiap (x,y) ∈ R dan (y,z) ∈ R maka berlaku (x,z) ∈ R.

Contoh:

Diberikan himpunan P = {1, 2, 3}. Didefinisikan relasi pada himpunan P dengan hasil relasi adalah himpunan R = {(1,1), (1,2), (2,2), (2,1), (3,3)}. Relasi R tersebut bersifat transitif sebab (x,y) ∈ R dan (y,z) ∈ R maka berlaku (x,z) ∈ R.

C. Simetris

Misalkan R sebuah relasi pada himpunan P. Relasi R dikatakan bersifat simetris, apabila untuk setiap (x, y) ∈ R berlaku (y, x) ∈ R.

Contoh:

Diberikan himpunan P = {1, 2, 3}. Didefinisikan relasi R pada himpunan P dengan R = {(1,1) , (1,2), (1,3), (2,2), (2,1), (3,1), (3,3)}. Relasi R bersifat simetris sebab untuk setiap (x,y) ∈ R, berlaku (y,x) ∈ R.

D. Anti Simetris

Misalkan R sebuah relasi pada sebuah himpunan P. Relasi R dikatakan bersifat antisimetris, apabila untuk setiap (x,y) ∈ R dan (y,x) ∈ R berlaku x = y.

Contoh:

Diberikan himpunan C = {2, 4, 5}. Didefinisikan relasi R pada himpunan C dengan R = { (a,b) ∈ a kelipatan b, a,b ∈ C} sehingga diperoleh R = {(2,2), (4,4), (5,5), (4,2)}. Relasi Rtersebut bersifat antisimetris.

C. Fungsi.

1. Jelaskan definisi fungsi.

2. Jelaskan fungsi satu – satu ( one to one ) dengan fungsi pada ( on to ).

3. Jelaskan perbedaan domain, kondomain, dan range suatu fungsi.

Jawaban .

1. Fungsi dalam matematika adalah suatu relasi yang menghubungkan setiap anggota x dalam suatu himpunan yang disebut daerah asal (Domain) dengan suatu nilai tunggal f(x) dari suatu himpunan kedua yang disebut daerah kawan (Kodomain). Himpunan nilai yang diperoleh dari relasi tersebut disebut daerah hasil ( Range).

2. Misalkan f merupakan fungsi dari A ke B maka f disebut Fungsi Satu-Satu jika setiap unsur di B (kodomain) terdapat secara tunggal unsur dalam A (domain), artinya tidak ada dua elemen atau lebih di A yang dipetakan ke elemen yang sama di B. Secara matematis dapat dituliskan sebagai berikut :

Definisi :

Pemetaan (fungsi) f : A $Description: \rightarrow$ B dikatakan satu-satu atau injektif, jika untuk setiap unsur x₁ dan x₂di yang dipetakan sama oleh f, yaitu f(x₁) = f(x₂) berlaku x₁ = x₂.

defisini diatas ekivalen dengan kalimat berikut “jika x₁ $Description: \neq$ x₂maka berlaku f(x₁) $Description: \neq$ f(x₂)”

Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh diagram pemetaan dibawah ini.

Keterangan :

Gambar diagram pemetaan sebelah kiri merupakan fungsi satu-satu karena setiap anggota di domain dipetakan tepat satu ke kodomain dan tidak ada dua anggota domain yang dipetakan ke anggota kodomain yang sama.

Kemudian untuk diagram pemetaan kedua atau yang sebelah kanan bukan merupakan fungsi satu-satu karena ada dua anggota di domain yang memiliki pemetaan yang sama di kodomain.

Contoh :

Selidiki apakah fungsi f : R $Description: \rightarrow$ R merupakan Fungsi Satu-Satu atau bukan !

1. f(x) = x² + 2

ambil -1, 1 $Description: \epsilon \quad \mathbb{R}$ di domain, sehingga diperoleh f(-1) = (-1)² + 2 = 3 dan f(1) = (1)² + 2 = 3 berakibat f(-1) = f(1). Karena terdapat dua elemen di domain yang memiliki peta sama di kodomain. Jadi fungsi f(x) bukan Fungsi Satu-Satu.

2. g(x) = x³ – 2

ambil x₁, x₂ $Description: \epsilon \quad \mathbb{R}$ sebarang dan g(x₁) = g(x₂) berakibat

g(x₁) = g(x₂)

(x₁)³ – 2 = (x₂)³ – 2

(x₁)³ = (x₂)³

x₁ = x₂

Jadi, fungsi g(x) adalah Fungsi Satu-Satu

3. Domain adalah himpunan asal yang dipetakan dalam fungsi

Kodomain adalah himpunan tujuan pemetaan dalam fungsi

Range adalah daerah hasil pemetaan yang merupakan bagian dari kodomain.

Contoh:

Himpunan A Himpunan B